Mengenal Fungsi Turunan dan Intergral

Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari tentang fungsi turunan dan integral dalam matematika. Langsung saja kita simak penjelasannya.

Fungsi Turunan

Definisi

Apabila fungsi y = f(x), maka turunan fungsi y terhadap x ditulis y'(x) atau f'(x). Dapat didefinisikan sebagai berikut :

Nilai fungsi turunan untuk x = a adalah :

Rumus-rumus Fungsi Turunan

• y = a . xⁿ → y’ = a . n . x^n-1
• y = a . Uⁿ → y’ = (a . n . U^n-1) . U’
• y = sin U → y’ = (cos U) . U’
• y = cos U → y’ = (-sin U) . U’
• y = tan U → y’ = (sec² U) . U’
• y = cot U → y’ = (-csc² U) . U’
• y = sec U → y’ = (sec U . tan U) . U’
• y = csc U → y’ = (-csc U . cot U) . U’

Sifat-sifat Fungsi Turunan

• y = k → y’ = 0
• y = U → y’ = U’
• y = U + V → y’ = U’ + V’
• y = U – V → y’ = U’ – V’
• y = U . V → y’ = U’ . V + V’ . U
• y = U / V → y’ = (U’ . V – V’ . U) / V²

Gradien Garis Singgung

Titik (x₁, y₁) adalah titik singgung garis g dengan kurva y = f(x).

Gradien kemiringan garis singgung y = f(x) adalah m = f'(x₁), maka persamaan garis singgungnya adalah :

y – y₁ = m(x – x₁)

Fungsi Naik dan Turun

Interval fungsi naik dan fungsi turun, yakni apabila fungsi f'(x) > 0, maka disebut fungsi naik. Apabila fungsi f'(x) < 0, maka disebut fungsi turun.

Titik Stasioner

Fungsi y = f(x) mengalami stasioner jika f'(x) = 0 dan terdapat titik-titik stasioner. Ada 3 jenis titik stasioner :

1. Titik balik maksimum, syarat : f'(x) = 0 dan f”(x) < 0
2. Titik balik minimum, syarat : f'(x) = 0 dan f”(x) > 0
3. Titik belok, syarat f'(x) = 0 dan f”(x) = 0

Integral

Definisi

Integral merupakan anti turunan dan secara umum dapat dirumuskan :

Sifat-sifat Integral

Rumus Dasar Integral

Teknik Integral

1. Metode Substitusi

Misalkan, u = g(x) dengan g(x) adalah fungsi yang memiliki turunan, maka :

Dimana F(u) merupakan abti-turunan dari f(u).

2. Metode Parsial

Metode parsial biasanya digunakan untuk mencari integral suatu fungsi yang tidak bisa dicari menggunakan metode substitusi. Jika u = f(x) dan v = g(x), maka berlaku rumus :

Aplikasi Integral

a. Menghitung Luas Daerah

Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x :

Luas daerah yang dibatasi dua buah kurva terhadap batas sumbu x :

Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu y :

b. Menghitung Volume Benda Putar

Volume benda putar terhadap sumbu x :

Volume benda putar terhadap sumbu y :

Volume daerah yang dibatasi dua buah kurva :

Contoh Soal Turunan dan Integral

Demikian pembelajaran kali ini. Semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan dalam matematika.