Tautologi dan kontradiksi serta penggunaannya dalam pembuktian

Kali ini kita akan belajar tentang tautologi dan kontradiksi serta penggunaannya dalam pembuktian. Dalam pembahasaan ini ada beberapa hal yg akan kita bahas, yaitu : 

1. Variabel Kalimat, Tautologi dan Kontradiksi serta ekuivalen

Variabel kalimat merupakan lambang (unsur bahasa) yang melambangkan suatu peristiwa sembarang (fakta dan lain sebagainya). Lambang itu menempati tempat suatu kalimat konstan, yang untuk ini dipilih huruf-huruf besar  “A”, “B”, … O.

Sedangkan tautologi sendiri merupakan bentuk – bentuk yang memuat variabel kalimat dan yg menyajikan hukum – hukum dari logika kalimat. Dimana didalam logika kalimat, kalimat – kalimat dipandang sebagai suatu keseluruhan yg tidak dianalisis atas subyek dan predikatnya. Kalimat – kalimat itu dihubungkan satu sama lainnya dengang kata penghubung. Karena tautologi adalah hukum dalam logika kalimat maka setiap penggantian dari variabel didalamnya dengan kalimat konstan akan menghasilkan suatu kalimat dengan nilai benar, jadi secara singkatnya tautologi merupakan pernyatan  majemuk yang akan selalu bernilai benar.

contoh  tautologi

( p Λ q ) ⇒ q

dalam membuktikan pernyataan ( p Λ q ) ⇒ q adalah tautologi perhatikan tabel berikut ini.

suatu bentuk merupakan tautologi bilamana dan hanya bilamana pada lajur untuk bentuk tersebut tampak hanya T, seperti terlihat pada tabel berikut.

Sedangkan kontradiksi merupakan pernyataan majemuk yg akan selalu bernilai salah. Perhatikan contoh berikut :

p Λ (∼p Λ q)

 perhatikan tabel berikut

suatu bentuk merupakan kontradiksi bilamana dan hanya bilamana pada lajur untuk bentuk tersebut tampak hanya F, seperti terlihat pada tabel berikut.

Dan yang terakhir ekuivalen merupakan dua atau lebih pernyataan majemuk yg memiliki nilai kebenaran yang sama. perhatikan contoh berikut :  ∼ (p∨q) ≡ ∼p ∧ ∼q

berdasarkan tabel diatas nilai dari ∼ (p∨q) dan ∼p ∧ ∼q adalah sama, maka pernyataan tersebut merupakan pernyataan yg ekuivalen.

2. Pembuktian menggunakan tautulogi, kontradisksi dan ekuivalensi

contoh 1. Buktikan bahwa √2 adalah bilangan irasional.

bukti :

bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. sedangkan ingkarannya adalah bilangan irasional. Jelas bahwa √2 bukanlah bilangan bulat.

andaikan bahwa √2 adalah rasional (disingkat A) dengan bentuk m/n = √2 dengan m dan n saling proma serta n ≠ 1.

maka m²/n² = 2 atau m²=2n².

Perhatikan bahwa m pasti genap, sebab kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil, jika demikian maka n pastilah ganjil.

maka m=2p dan n=2p+1.

sehingga m² = 4p² dan 4|m², yaitu m² habis dibagi oleh 4 (disingkat B).

sedangkan n²=4q²+4q+1  atau  2n²=8q²+8q+2  dan  4†2n².

karena m²=2n² maka 4|m² (disingkat B transpose).

tampak bahwa 4|m² dan 4†m² merupakan kontradisksi

pengandaian harus diingkar dan terbukti bahwa √2 adalah bilangan irasional.

contoh2. buktikan bahwa banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga

bukti :

andaikan banyaknya bilangan prima adalah berhingga, maka ada bilangan prima terbesar, katakanlah N.

jelas [(1,2,3,…N)+1] tidak habis dibagi oleh bilangan-bilangan 2,3, sampai dengan N.

karena N bilangan prima terbesar, maka [(1,2,3,…,N)+1] bukan bilangan prima, sehingga mempunyai faktor terkecil. Faktor ini pasti bilangan prima dan pasti lebih besar dari pada N.

maka terdapat kontradisi, sehingga pengandaian harus dingkar.

terbukti.

Demikian penjelasan mengenai kalimat tautologi dan kontradisi serta penggunaannya pada pembuktian, semoga  ini bermanfaat.