Home » Kongkow » Matematika » Suku Banyak dan Cara Horner

Suku Banyak dan Cara Horner

Suku Banyak dan Cara Horner

Pengertian Derajat Polinomial

Derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suatu suku banyak. Jika suku banyak ditulis anxn + an-1xn-1+ … + a1+ a0, maka derajat dari suku banyak tersebut adalah n. bagaimanakah derajat suku banyak dari hasil bagi?

Teorema Sisa

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)

Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1

Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n 

  • Metode Pembagian Suku Banyak

contoh :

Jika P(x) = 3x3 – 4x2 + kx + 4 habis dibagi (3x + 2), maka nilai k adalah ...

  1. Pembagian Biasa

Jawab :

Sehingga hasil baginya: H(X) = x2 – 2x + 2, sisanya S(x) = 0

  1. Cara Horner/skema

cara ini dapat  digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1

Cara:

  • Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)

  • Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
  • Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

dan seterusnya

Untuk soal di atas,

P(x) = 3x3 – 4x2 + 2x + 4

P1: 3x + 2 = 0 → x = - 2/3

Cara Hornernya:

Jadi untuk  S(x) =  0, H(x) = x2 – 2x + 2

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Tips

1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0.

Contohnya :untuk x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2untuk 4x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4.

2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.

3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

 

Baca Juga :

Metode Pembagian Suku Banyak / Polinomial

 

Perhatikan contoh berikut :

Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0?

Jawab :

Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, atau dengan soal sebelumnya seperti di bawah ini

Jadi untuk P(x) = 3x3 – 4x2 + 2x + 4 = ( 3x + 2) (x2 - 2x + 2)

 Memiliki satu faktor yaitu = (3x + 2) atau x = - 2/3  

Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1/2}

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x= – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a

Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

 

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Dari kesamaan 5x2 – 2x + 14 ≡ Ax2 + (B+C) x + 7 (B–C), maka A + 8B – C = ....

(A) -2

(B) 7

(C) 5

(D) 6

(E) 10

Jawab :

5x2 – 2x + 14 ≡ Ax2 + (B+C) x + 7 (B–C)

Jika kita pecah persamaan diatas berdasarkan sukunya

5x2 = A x2          ==> A = 5

B + C = -2

7 (B – C) = 14

Setelah nilai A diketahui sebesar 5, kemudian cari nilai B dan C

7 (B – C) = 14 

   (B – C) = 2

           B  = 2 + C ...................... (pers 1)

    B + C = -2

(2 + C) + C = -2 ....................... substitusikan pers 1 atau ganti nilai B dengan (2-C)

2 + 2C = -2

      2C = (- 2) – 2

      2C = - 4

        C = -2

Untuk mencari nilai B Kembali ke pers 1

B  = 2 + C

B = 2 + (-2) = 0

# Jadi untuk A + 8B – C = 5 + 8.0 – (- 2)

                                      = 5 + 2 = 7 (B)

 

2. Suatu suku banyak f(x), jika dibagi (x–2) sisanya 5 dan dibagi (x+3) sisanya -10. Jika f(x) dibagi (x+ x – 6) sisanya adalah ....

(A)  -3x + 11

(B)  3x – 1

(C)  5x – 5

(D)  5x + 15

(E)  10x – 15

Jawab :

·         Jika f(x) dibagi (x–2) sisanya 5

Maka = P (2) = 5

·         Jika f(x) dibagi (x+3) sisanya -10

Maka = P (-3) = -10

Jika f(x) dibagi (x+ x – 6) = (x + 3)(x - 2)

P(2) : (x+ x – 6) = (x + 3) P(2)

                         = (x + 3) 5

                         = 5x + 15

P(-3) : (x+ x – 6) = P(-3) (x – 2)

                            = (-10) (x – 2)

                            = -10x + 20

Sehingga, sisa dari (x+ x – 6) untuk (x - 2) adalah 5x + 15 (D)

Sumber :
Cari Artikel Lainnya