Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2 Misalkan A = adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua. Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut. det A = = ad – bc Contoh Soal 1 : Tentukan determinan matriks-matriks berikut. Penyelesaian : b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan) Jika A = adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A dinyatakan dengan Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor. Aturan Sarrus Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A3 × 3. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut. Metode Minor-Kofaktor Misalkan matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A3 × 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga : Akan diperoleh M21 = . M21 adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 = minor a21. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya : M13 = Kofaktor elemen aij, dinotasikan Kij adalah hasil kali (–1)i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan : Kij = (–1)i+j Mij Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13 berturut-turut adalah K21 = (–1)2+1 M21 = –M21 = K13 = (–1)1+3 M13 = M13 = Kofaktor dari matriks A3 × 3 adalah kof(A) = Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut. Misalkan diketahui matriks A = Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut. Kita pilih baris pertama sehingga det A = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13 = a11 (–1)1+1 M11 + a12 (–1)1+2 M12 + a13 (–1)1+3 M13 = a11(a22 a33 – a32 a23) – a12(a21 a33 – a31 a23) + a13(a21 a32 – a31 a22) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus. Contoh Soal 2 : Tentukan determinan dengan aturan Sarrus dan minor-kofaktor matriks berikut. Penyelesaian : Cara 1: (Aturan Sarrus) = (1 × 1 × 2) + (2 × 4 × 3) + (3 × 2 × 1) – (3 × 1 × 3) – (1 × 4 × 1) – (2 × 2 × 2) = 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8 = 11 Cara 2: (Minor-kofaktor) Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertama sehingga diperoleh : det A = = –2 – 2(–8) + 3(–1) = –2 + 16 – 3 = 11 c. Sifat-Sifat Determinan Matriks Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks 1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol. Misal : 2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol. Misal (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama). 3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol. Misal (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1). 4. |AB| = |A| ×|B| 5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A. 6. |A–1| = , untuk A–1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada subbab berikutnya). 7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.
