Rumus matriks

Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi

a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Misalkan A = adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det A = = ad – bc

Contoh Soal 1 :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

Penyelesaian :

b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)

Jika A = adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A dinyatakan dengan

Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

Aturan Sarrus

Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A 3 × 3 . Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.

Metode Minor-Kofaktor

Misalkan matriks A dituliskan dengan [a ij ]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan M ij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A 3 × 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :

Akan diperoleh M 21 = . M 21 adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M 21 = minor a 21 . Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya :

M 13 =

Kofaktor elemen aij, dinotasikan K ij adalah hasil kali (–1) i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :

K ij = (–1) i+j M ij

Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a 21 dan a 13 berturut-turut adalah

K 21 = (–1) 2+1 M 21 = –M 21 =

K 13 = (–1) 1+3 M 13 = M 13 =

Kofaktor dari matriks A 3 × 3 adalah kof(A) =<img id='equationview' src='http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20K_%7B11%7D%20&%20K_%7B12%7D&K_%7B13%7D%5C%5C%20K_%7B21%7D%20&%20K_%7B22%7D&K_%7B23%7D%5C%5C%20K_%7B31%7D%20&%20K_%7B32%7D&K_%7B33%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D' title='This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.' />

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.

Misalkan diketahui matriks A =

Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.

Kita pilih baris pertama sehingga

det A = a 11 K 11 + a 12 K 12 + a 13 K 13

= a 11 (–1) 1+1 M 11 + a 12 (–1) 1+2 M 12 + a 13 (–1) 1+3 M 13 <img id='equationview' src='http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20a_%7B11%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_%7B22%7D%20&%20a_%7B23%7D%5C%5C%20a_%7B32%7D%20&%20a_%7B33%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D-a_%7B12%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_%7B21%7D%20&%20a_%7B23%7D%5C%5C%20a_%7B31%7D%20&%20a_%7B33%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D+a_%7B13%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_%7B21%7D%20&%20a_%7B22%7D%5C%5C%20a_%7B31%7D%20&%20a_%7B32%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D' title='This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.' />

= a 11 (a 22 a 33 – a 32 a 23 ) – a 12 (a 21 a 33 – a 31 a 23 ) + a 13 (a 21 a 32 – a 31 a 22 )

= a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31

= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33

Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus.

Contoh Soal 2 :

Tentukan determinan dengan aturan Sarrus dan minor-kofaktor matriks berikut.

Penyelesaian :

Cara 1: (Aturan Sarrus)

= (1 × 1 × 2) + (2 × 4 × 3) + (3 × 2 × 1) – (3 × 1 × 3)

– (1 × 4 × 1) – (2 × 2 × 2)

= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8

= 11

Cara 2: (Minor-kofaktor)

Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertama sehingga diperoleh :

det A = <img id='equationview' src='http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%201%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%201%20&4%20%5C%5C%201%20&%202%20%5Cend%7Bvmatrix%7D-2%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202%20&4%20%5C%5C%203%20&%202%20%5Cend%7Bvmatrix%7D+3%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202%20&1%20%5C%5C%203%20&%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D' title='This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.' />

= –2 – 2(–8) + 3(–1)

= –2 + 16 – 3 = 11

c. Sifat-Sifat Determinan Matriks

Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks

1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol.

Misal :

2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).

3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

4. |AB| = |A| ×|B|

5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.

6. |A –1 | = , untuk A –1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada subbab berikutnya).

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.

Rumus matriks

Artikel Terkait