Pembuktian aturan cosinus

Teorema Pythagoras merupakan suatu rumus matematika yang sangat penting dalam geometri. Dengan menggunakan teorema phytagoras, kita bisa menghitung jarak antara dua titik pada bidang koordinat, selain itu kita juga bisa menurunkan persamaan lingkaran.

Akan tetapi, penggunaan teorema pythagoras hanya dibatasi pada permasalahan yang melibatkan segitiga siku-siku. Teorema Pythagoras tidak berlaku untuk segitiga lancip atau segitiga tumpul, mengapa? Untuk itu, coba perhatikan penjelasan dibawah ini!

Apabila sisi siku-siku dari segitiga siku-siku dibuat lebih dekat (sudut yang diapit semakin kecil) jadi sudut siku-sikunya akan menjadi sudut lancip, maka akan diperoleh c 2 2 + b 2 . Untuk membuat pertidaksamaan ini menjadi suatu persamaan, maka perlu mengurangkan a 2 + b 2 dengan nilai tertentu.

c 2 = a 2 + b 2 – nilai tertentu

Sebaliknya, apabila sisi siku-sikunya dibuat lebih jauh (sudut yang diapit semakin besar) maka sudut siku-sikunya akan menjadi sudut tumpul, maka akan di peroleh c 2 > a 2 + b 2 . Untuk mendapatkan persamaan maka tambahkn nilai tertentu pada a 2 + b 2 .

c 2 = a 2 + b 2 + nilai tertentu

Nilai tertentu tersebut adalah 2ab.cos C. Rumus hasil modifikasi teorema Pythagoras ini disebut aturan cosinus.

Aturan Cosinus Rumus untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b, c, dan C adalah sudut di hadapan sisi yang panjangnya c.

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab ∙ cos C

Karena nilai cos dari sudut tumpul adalah negatif, maka nilai 2ab ∙ cos C juga bernilai negatif. Sehingga pengurangan oleh 2ab ∙ cos C akan sama dengan penjumlahan oleh nilai positif.

Untuk menurunkan aturan cosinus pada segitiga lancip, perhatikan segitiga ABC dengan AD sebagai garis tinggi, yang ditunjukkan gambar di atas. Kita bisa menyebut panjang sisi-sisi di depan sudut A, B, dan C secara berturut-turut adalah a, b, dan c, tingginya adalah t, serta panjang sisi CD sebagai x . Panjang sisi BD merupakan hasil pengurangan panjang sisi BC oleh CD , yaitu a-x.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, maka bisa diperoleh dua persamaan tersebut. Dengan menggunakan aljabar, maka dapat menjabarkan bentuk (a-x)2.

Perhatikan kedua persamaan diatas, memuat x2+t2 , yang diketahui sama dengan b2 dari persamaan 1. Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2.

Sekarang ganti x dengan bentuk yang memuat cos C. Dengan menggunakan segitiga ACD , maka dapat ditulis persamaan berikut dan menuliskan x dalam bentuk cos C.

Substitusikan persamaan 4 ke persamaan 3, maka diperoleh rumus aturan cosines:

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C

Meski penurunan aturan cosinus dilakukan pada segitiga lancip, aturan ini juga berlaku pada segitiga tumpul. Selain itu, aturan cosinus juga bisa digunakan jika diketahui panjang 3 sisi segitiga atau panjang dua sisi segitiga dan besar sudut yang diapitnya (ss.ss.ss atau ss.sd.ss).

Contoh Soal dan Pembahasan Aturan Cosinus Segitiga Trigonometri Contoh 1

Diketahui! Pada segitiga ABC, AB = 4 cm, BC = 6 cm dan AC = 7 cm. Nilai cos C = …

Jawab:

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C 16 = 36 + 49 – 2.6.7 cos A 84 cos A = 69 cos A = 69/84 cos A = 23/28

Contoh 2 :

Diketahui! Pada jajaran genjang ABCD, &ang;BAD = 60o. Jika AB = 16 cm dan AD = 10 cm maka panjang AC = …

Jawab :

Perhatikan gambar diatas!

&ang;BAC ≠ &ang;CAD, sebab AB ≠ AD

Untuk mempermudah perhitungan tersebut, maka perpanjang garis AB

AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2 AB.BC cos 120°

AC 2 = 162 + 102 – 2 16.10.(-1/2)

AC 2 = 256 + 100 + 160

AC 2 = 516

Contoh 3 :

Diketahui : Pada segitiga ABC, &ang;A = 60o, AB = 7 cm, BC = √109 cm. Panjang AC = …

Jawab :

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos 60o,

109 = b 2 + 49 – 2.b.7.(1/2)

109 = b 2 + 49 – 7b

b 2 – 7b – 60 = 0

(b – 12)(b + 5) = 0

b = 12 atau b = -5

Jawaban yang memenuhi adalah AC = 12 cm

Demikian penjelasan tentang Pembahasan Lengkap Aturan Cosinus Segitiga Trigonometri Dalam Ilmu Matematika . Semoga bermanfaat dan sampai jumpa pada postingan selanjutnya.

Pembuktian aturan cosinus

Artikel Terkait