999 +
0
39
0
Menghitung Volume Benda Putar Menggunakan Integral
1 month 'ago'

Salah satu aplikasi integral adalah menghitung volume benda putar. Benda putar pada dasarnya bisa diputar terhadap sumbu x dan sumbu y sehingga hasil dari perhitunga volumenya akan menjadi berbeda pula. Volume benda putar juga dapat diartikan sebagai ingral atau volume sebuah luasan yang diputar pada poros tertentu. Untuk memahami materi ini, ada beberapa materi yang harus dikuasai terlebih dahulu diantaranya sifat-sifat persamaan kuadrat, sifat-sifat akar kuadrat, penggambaran kurva, dan materi mengenai integral.

Rumus Volume benda putar Untuk Sumbu X dan Y

 

Metode yang dapat kita gunakan untuk menghitung volume benda putar menggunakan integral ada 2, yaitu :

1. Metode Cakram

Berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi
Luas Alas disini selalu berupa lingkaran maka Luas Alas = πr2 (dimana r adalah jari-jari putaran)
digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar

 

2. Metode Cincin Silinder

Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran.
Dikarenakan  keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × A digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Baca Juga :

Persamaan Garis Singgung Kurva

Cara Menghitung Luas Selimut Benda Putar

Agar dapat lebih memahami perhatikan beberapa contoh dibawah ini

1. Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 jika diputar terhadap sumbu x?

Jawab :

 

Menggunakan metode cakram


 

Menggunakan metode cincin silinder


 

2. Carilah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y?

Jawab :

 

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 2x

x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)

Menggunakan Metode cakram:


 

Menggunakan metode cincin silinder:

Screenshot_16

Screenshot_17

3. Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka hitunglah volume benda putar yang terjad?

Jawab :

Screenshot_18

Perpotongan kurva dan garis:

x + y = 4 → x = 4 – y

(y – 2)2 = 4 – y

y2 – 4y + 4 = 4 – y

y2 – 4y + 4 – 4 + y = 0

y2 – 3y = 0

y(y – 3) = 0

y = 0 atau y = 3

y = 0 → x = 4 – 0 = 4

y = 3 → x = 4 – 3 = 1

Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)

Menggunakan metode cakram :

Screenshot_19

Screenshot_20

Menggunakan metode cincin silinder :

Screenshot_21

Screenshot_22

4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi oleh daerah yang dibatasi  kurva y = x2 dan y = 6x – x2 jika diputar mengelilingi garis x = 4?

Jawab :

Screenshot_23

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: x = 4

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 6x – x2

x2 + x2 – 6x = 0

2x2 – 6x = 0

2x(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

x = 0 → y = 02 = 0

x = 3 → y = 32 = 9

Menggunakan metode cakram :

Screenshot_24

Screenshot_25

Screenshot_26

Menggunakan metode cincin silinder :

Screenshot_27

Screenshot_28

5. Hitunglah volume benda putar yang terbentuk dari  daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x jika diputar terhadap sumbu x?

Jawab :

Screenshot_29

Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x

Perpotongan kedua kurva:

x2 = –x2 + 4x

x2 + x2 – 4x = 0

2x2 – 4x = 0

2x(x – 2) = 0

2x = 0 atau x = 2

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)

Menggunakan metode cakram :

Screenshot_30

Screenshot_31

Menggunakan metode cincin silinder :

Screenshot_32

:Screenshot_32

Sumber :
Follow Us On :
Ranking
Lencana
Kongkow