Materi kali ini mengenai polinomial atau sering disebut dengan suku banyak. Mengenai apa itu suku banyak dan bagaiman bentuknya, mari kita simak pada penjelasan dibawah ini.
Bentuk Umum
an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0
keterangan :
n = derajat suku banyak
a0 = konstanta
an, an – 1, an – 2, … = koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, …
Pangkat merupakan bilangan cacah .
Pembagian Suku Banyak
Bentuk Umum
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
dimana :
F(x) = suku banyak
P(x) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa
Teorema Sisa
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
Metode Pembagian Suku Banyak
contoh :
F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x2 – x – 1
1. Pembagian Biasa
Sehingga hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4
2. Cara Horner/skema
cara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1
Cara:
- Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)
- Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
- Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
dan seterusnya
Untuk soal di atas,
P(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P1: 2x + 1 = 0 → x = –½
P2: x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:
H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4
Baca juga : Contoh Soal Pembagian Suku Banyak dan Metode Horner
3. Koefisien Tak Tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d
= 2ax3 + (2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
x3 → 2 = 2a → a = 2/2 = 1
x2 → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4
Teorema Faktor
Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips
- Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya :untuk x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2untuk 4x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4
- Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
- Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1
Perhatikan contoh berikut :
Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0?
Jawab :
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:
Jadi x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1 x = 2 x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}
Sifat Akar-Akar Suku Banyak
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3
dengan sifat-sifat:
- Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
- Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
- Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a
Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4
dengan sifat-sifat:
- Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
- Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
- Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
- Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a
Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)
Pembagian Istimewa
Baca juga : Contoh Soal Pembagian Suku Banyak dan Metode Horner