Titik dan lingkaran yang terletak dalam satu bidang datar mempunyai kududukan yang dibedakan dalam tiga kondisi. Kondisi tersebut adalah titik di dalam lingkaran, titik pada lingkaran, dan titik di luar lingkaran. Tiga kondisi inilah yang akan dibahas pada materi tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Untuk menentukan letak titik terhadap lingkaran dapat secara mudah terlihat jika digambarkan dalam bidang kartesius. Seperti halnya gambar lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dengan jari-jari 3 cm dan titik dengan koordinat (1, 2) berikut.
alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/kedudukan%20titik%20terhadap%20lingkaran.png" style="height:304px; width:300px" />
Dengan sangat mudah, sobat dapat menentukan bahwa titik berada di dalam lingkaran. Namun, hal ini tidak efektif karena diperlukan waktu yang cukup banyak. Bagaimana untuk kedudukan titik (1, 3) pada lingkaran dengan pusat (1, 2) dan jari-jari 2 cm? Apakah letak titik (1, 3) berada di dalam lingkaran, pada lingkaran, atau di luar lingkaran? Menggambarkan lagi lingkaran dan titik bukan merupakan jalan keluar yang terbaik, ada solusi lainnya. Solusi lain untuk mengetahui kedudukan titik terhadap lingkaran dapat diperoleh dengan menggunakan kriteria yang melibatkan rumus persamaan lingkaran dan titik yang bersangkutan. Barikut ini adalah penjelasan lebih jauh tentang kriteria untuk mengetahui kedudukan titik terhadap lingkaran.
alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/Kriteria%20Kedudukan%20Titik%20Terhadap%20Lingkaran.png" style="height:133px; width:500px" />
Kriteria Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran dengan Persamaan Umum alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%201.png" style="height:16px; width:79px" />
Bentuk persamaan lingkaran alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%201.png" style="height:16px; width:79px" /> memiliki pusat di titik O(0, 0) dengan panjang jari-jarinya adalah alt="r" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc0ffc310dfb7ac827ccf1defca76c24_l3.png" style="height:7px; width:7px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />. Letak suatu titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%201.png" style="height:16px; width:79px" /> dapat dilihat pada daftar berikut.
- Titik terletak di dalam lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20jika%20titik%20di%20dalam%20lingkaran.png" style="height:16px; width:79px" />
- Titik terletak pada lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%201.png" style="height:16px; width:79px" />
- Titik terletak di luar lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20jika%20titik%20di%20luar%20lingkaran.png" style="height:16px; width:79px" />
Kriteria Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran dengan Persamaan Umum alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20lingkaran%208.png" style="height:17px; width:150px" />
Persamaan lingkaran dengan bentuk alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20lingkaran%208.png" style="height:17px; width:150px" /> memiliki pusat di titik P(a, b) dengan panjang jari-jarinya adalah alt="r" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc0ffc310dfb7ac827ccf1defca76c24_l3.png" style="height:7px; width:7px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />. Letak suatu titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20lingkaran%208.png" style="height:17px; width:150px" /> dapat dilihat pada daftar berikut.
- Titik terletak di dalam lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20lingkaran%209.png" style="height:17px; width:150px" />
- Titik terletak pada lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20lingkaran%208.png" style="height:17px; width:150px" />
- Titik terletak di luar lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20lingkaran%2010.png" style="height:17px; width:150px" />
Kriteria Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran dengan Persamaan Umum alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%207.png" style="height:16px; width:176px" />
Persamaan lingkaran dengan bentuk alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%207.png" style="height:16px; width:176px" /> memiliki pusat di titik alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%205.png" style="height:19px; width:95px" /> dengan panjang jari-jarinya adalah alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%206.png" style="height:27px; width:191px" />.
Kedudukan titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%207.png" style="height:16px; width:176px" /> dapat dilihat pada daftar berikut.
- Titik terletak di dalam lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20lingkaran%20jika%20titik%20di%20dalam%20lingkaran.png" style="height:16px; width:176px" />
- Titik terletak pada lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20Lingkaran%207.png" style="height:16px; width:176px" />
- Titik terletak di luar lingkaran jika alt="" src="https://cdn.utakatikotak.com/finder/persamaan%20umum%20lingkaran%20jika%20titik%20di%20luar%20lingkaran.png" style="height:16px; width:176px" />
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1: Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan titik di Dalam Lingkaran
Selidiki kedudukan titk (3, 1) pada lingkaran alt="x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 4 = 0" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d02b53c36cad8ad979c4bca0610569a_l3.png" style="height:16px; width:164px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />!
Pembahasan:
Substitusi titik (3, 1), nilai x = 3 dan y =1, pada persamaan alt="x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 4 = 0" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d02b53c36cad8ad979c4bca0610569a_l3.png" style="height:16px; width:164px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />.
alt="\[ (3)^{2} + (1)^{2} - 4(3) + 2(1) - 4 = 9 + 1 - 12 + 2 - 4 \]" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21935bed736ddf5ceb849afb99cd4b74_l3.png" style="height:18px; width:313px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />
alt="\[ = 9 + 1 - 12 + 2 - 4 = -4 \]" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09706ab9288c39f75dd6e4781bcddbbf_l3.png" style="height:13px; width:167px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />
Karena alt="x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 4x_{1} + 2y_{1} - 4 = -4 < 0" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24370fb58b2436505b74e0a91d491c59_l3.png" style="height:18px; width:214px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />, maka letak titik (3, 1) berada di dalam lingkaran alt="x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 4 = 0" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d02b53c36cad8ad979c4bca0610569a_l3.png" style="height:16px; width:164px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />.
Contoh 2: Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan titik pada Lingkaran
Selidikilah letak titik (3, 4) pada lingkaran dengan persamaan alt="x^{2} + y^{2} = 25" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4af06d314b4b736835ffd4c7d3cd7e67_l3.png" style="height:16px; width:80px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />!
Pembahasan:
Substitusi titik (3, 4), nilai x = 3 dan y = 4, pada lingkaran alt="x^{2} + y^{2} =25" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c849d089f2217fac89a0ea4a81f3f2d2_l3.png" style="height:16px; width:80px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />.
alt="\[ (3)^{2} + (4)^{2} = 9 + 16 =25 \]" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-99d4c9e029e0e2732916e662fa51f8d4_l3.png" style="height:18px; width:159px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />
Karena nilai alt="x_{1}^{2} + y_{1}^{2} =25" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25e531ae600cf148b5b9f5d3e627b9e0_l3.png" style="height:18px; width:80px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />, maka titik (3, 4) terletak pada lingkaran alt="x^{2} + y^{2} = 25" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4af06d314b4b736835ffd4c7d3cd7e67_l3.png" style="height:16px; width:80px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />.
Contoh 3: Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan titik di Luar Lingkaran
Seldikilah letak titik (5, 3) pada lingkaran yang memiliki persamaan alt="(x-1)^{2} + (y-3)^{2} = 9" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d73ffbc5e2f69ed8db4cc20381baeee2_l3.png" style="height:17px; width:144px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />!
Pembahasan:
Substitusikan titik (5, 3), nilai x = 5 dan y = 3, ke persamaan alt="(x-1)^{2} + (y-3)^{2} = 9" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d73ffbc5e2f69ed8db4cc20381baeee2_l3.png" style="height:17px; width:144px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />!
alt="\[ (5 - 1)^{2} + (3 - 3)^{2} = 4^{2} + 0^{2} = 16 + 0 = 16 \]" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ee5055316fb56cfc37d7efe60bc0d56_l3.png" style="height:18px; width:274px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />
Karena alt="(x_{1} -1)^{2} + (y_{1} - 3)^{2} = 16 > 9" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd3c0f56cd7505e3425312cd6c34f2bb_l3.png" style="height:17px; width:191px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />, maka letak titik (5, 3) adalah di luar lingkaran alt="(x-1)^{2} + (y-3)^{2} = 9" src="https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d73ffbc5e2f69ed8db4cc20381baeee2_l3.png" style="height:17px; width:144px" title="Rendered by QuickLaTeX.com" />.
Sekian pembahasan mengenai kedudukan titik terhadap lingkaran. Terimakasih, semoga bermanfaat.