999 +
0
228
0
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
3 months 'ago'

Titik dan lingkaran yang terletak dalam satu bidang datar mempunyai kududukan yang dibedakan dalam tiga kondisi. Kondisi tersebut adalah titik di dalam lingkaran, titik pada lingkaran, dan titik di luar lingkaran. Tiga kondisi inilah yang akan dibahas pada materi tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Untuk menentukan letak titik terhadap lingkaran dapat secara mudah terlihat jika digambarkan dalam bidang kartesius. Seperti halnya gambar lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dengan jari-jari 3 cm dan titik dengan koordinat (1, 2) berikut.

Kedudukan titik terhadap lingkaran

Dengan sangat mudah, sobat dapat menentukan bahwa titik berada di dalam lingkaran. Namun, hal ini tidak efektif karena diperlukan waktu yang cukup banyak. Bagaimana untuk kedudukan titik (1, 3) pada lingkaran dengan pusat (1, 2) dan jari-jari 2 cm? Apakah letak titik (1, 3) berada di dalam lingkaran, pada lingkaran, atau di luar lingkaran? Menggambarkan lagi lingkaran dan titik bukan merupakan jalan keluar yang terbaik, ada solusi lainnya. Solusi lain untuk mengetahui kedudukan titik terhadap lingkaran dapat diperoleh dengan menggunakan kriteria yang melibatkan rumus persamaan lingkaran dan titik yang bersangkutan. Barikut ini adalah penjelasan lebih jauh tentang kriteria untuk mengetahui kedudukan titik terhadap lingkaran.

Kedudukan titik terhadap lingkaran 
 

Kriteria Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran dengan Persamaan Umum x^{2} + y^{2} = r^{2}

Bentuk persamaan lingkaran x^{2} + y^{2} = r^{2} memiliki pusat di titik O(0, 0) dengan panjang jari-jarinya adalah r. Letak suatu titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum x^{2} + y^{2} = r^{2} dapat dilihat pada daftar berikut.

  1. Titik terletak di dalam lingkaran jika x^{2} + y^{2} < r^{2}
  2. Titik terletak pada lingkaran jika x^{2} + y^{2} = r^{2}
  3. Titik terletak di luar lingkaran jika x^{2} + y^{2} > r^{2}

Kriteria Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran dengan Persamaan Umum (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}

Persamaan lingkaran dengan bentuk (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} memiliki pusat di titik P(a, b) dengan panjang jari-jarinya adalah r. Letak suatu titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2} dapat dilihat pada daftar berikut.

  1. Titik terletak di dalam lingkaran jika (x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}
  2. Titik terletak pada lingkaran jika (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}
  3. Titik terletak di luar lingkaran jika (x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}

Kriteria Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran dengan Persamaan Umum x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0

Persamaan lingkaran dengan bentuk x^{2} + y^{2} + Ax + By + C= 0 memiliki pusat di titik P\left( -\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B \right)dengan panjang jari-jarinya adalah r = \sqrt{\left( -\frac{1}{2}A \right)^{2} + \left( -\frac{1}{2}B \right)^{2} - C }. Kedudukan titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum x^{2} + y^{2} + Ax + By + C= 0 dapat dilihat pada daftar berikut.

  1. Titik terletak di dalam lingkaran jika x^{2} + y^{2} + Ax + By + C < 0
  2. Titik terletak pada lingkaran jika x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0
  3. Titik terletak di luar lingkaran jika x^{2} + y^{2} + Ax + By + C > 0

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan titik di Dalam Lingkaran
Selidiki kedudukan titk (3, 1) pada lingkaran x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 4 = 0!
Pembahasan:
Substitusi titik (3, 1), nilai x = 3 dan y =1, pada persamaan x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 4 = 0.

  \[ (3)^{2} + (1)^{2} - 4(3) + 2(1) - 4 = 9 + 1 - 12 + 2 - 4 \]

  \[ = 9 + 1 - 12 + 2 - 4 = -4 \]

Karena x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 4x_{1} + 2y_{1} - 4 = -4 < 0, maka letak titik (3, 1) berada di dalam lingkaran x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 4 = 0.

 
Contoh 2: Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan titik pada Lingkaran
Selidikilah letak titik (3, 4) pada lingkaran dengan persamaan x^{2} + y^{2} = 25!
Pembahasan:
Substitusi titik (3, 4), nilai x = 3 dan y = 4, pada lingkaran x^{2} + y^{2} =25.

  \[ (3)^{2} + (4)^{2} = 9 + 16 =25 \]

 

Karena nilai x_{1}^{2} + y_{1}^{2} =25, maka titik (3, 4) terletak pada lingkaran x^{2} + y^{2} = 25.

 
Contoh 3: Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan titik di Luar Lingkaran
Seldikilah letak titik (5, 3) pada lingkaran yang memiliki persamaan (x-1)^{2} + (y-3)^{2} = 9!
Pembahasan:
Substitusikan titik (5, 3), nilai x = 5 dan y = 3, ke persamaan (x-1)^{2} + (y-3)^{2} = 9!

  \[ (5 - 1)^{2} + (3 - 3)^{2} = 4^{2} + 0^{2} = 16 + 0 = 16 \]

Karena (x_{1} -1)^{2} + (y_{1} - 3)^{2} = 16 > 9, maka letak titik (5, 3) adalah di luar lingkaran (x-1)^{2} + (y-3)^{2} = 9.
 

Sekian pembahasan mengenai kedudukan titik terhadap lingkaran. Terimakasih, semoga bermanfaat.

Follow Us On :
Lencana
Kongkow